Cartan-Hadamard 流形上的 Sobolev 型不等式及其在一些非线性扩散方程中的应用

我们在截面曲率与 Ricci 曲率的适当界下，研究 Cartan-Hadamard 流形上 Sobolev 型不等式的成立与失效。我们证明，若截面曲率由上界为一负常数乘以距固定极点的距离的负幂所控制，则当该幂位于区间 $(-2,0)$ 时，所有在 Poincaré 与 Sobolev 之间插值的 $L^p$ 不等式对径向函数成立。Poincaré 不等式由 H.P. McKean 在截面曲率具有常负上界时建立。若幂等于临界值 $-2$，我们证明 $p$ 必须必然远离 $2$。在假设 Ricci 曲率在无穷远处消失时，此类不等式的非径向版本失效，Sobolev 情形除外。最后，我们讨论此处建立的 Sobolev 型不等式在径向多孔介质方程最优光滑效应中的应用。