流形上极小图的庞加莱不等式及其应用

设 $B_2(p)$ 为一个 $n$ 维光滑测地球，其 Ricci 曲率满足 $\geq-(n-1)\kappa^2$，其中某个 $\kappa\geq0$。我们通过结合 Cheeger-Colding 理论与几何测度论中的当前理论，在 $B_1(p)$ 上的每个极小图上建立了 Sobolev 不等式与一致的 Neumann-Poincar\'e 不等式，其中不等式的常数仅依赖于 $n$、$\kappa$ 以及 $B_1(p)$ 的体积下界。作为应用，我们推导了定义在具有非负 Ricci 曲率与欧氏体积增长的完备非紧流形 $\Sigma$ 上的极小图 $M$ 的梯度估计与 Liouville 定理。此外，若 $M$ 的图函数具有线性增长，我们可证明 $\Sigma$ 在无穷远处的任一切锥等距地分裂出一条直线。