关于最小图形曲率猜想的尖锐形式

最近，作者与 Melentijević 解决了长期存在的高斯曲率问题，通过证明最小图形在单位圆盘上在位于原点正上方的点处的尖锐不等式 [ $|\mathcal{K}| < c_0 = \frac{\pi^2}{2}$]，其中常数 $c_0$ 称为 Heinz 常数。建立在此结果基础上，我们获得了对 Hopf 常数 $c_1$ 的改进估计。此外，我们展示了对于任何给定的单位法向向量 $\mathbf{n}$，都存在一种在单位圆盘上的最小图形——沿坐标方向弯曲——其在原点正上方的高斯曲率严格小于，却 arbitrarily close（ arbitrarily接近）于具有相同法向的关联 Scherk 类型表面的曲率，后者位于双圆锥四边形上方。这一尖锐不等式强化了 Finn 和 Osserman 的经典结果，而后者仅适用于单位法向为 $(0,0,1)$ 的特殊情况。