黎曼度量与距离函数的 Sobolev 不等式及收敛性

如果将黎曼度量 $g_1$ 类比地视为相应距离函数 $d_1$ 相对于背景黎曼度量 $g_0$ 的梯度，则一个自然的问题是：在黎曼度量与其距离函数之间是否存在相应的 Sobolev 不等式理论。本文研究次临界情形 $p < \frac{m}{2}$，并证明存在一种 Sobolev 不等式，其中黎曼度量的 $L^{\frac{p}{2}}$ 界蕴含其相应距离函数的 $L^q$ 界。我们随后利用该结果陈述了一个收敛定理，并展示该定理如何有助于证明几何稳定性结果——通过证明共形情形下具有几乎非负数量曲率的环面之 Gromov 猜想的一个版本。文中给出例子说明主要定理的假设是必要的。