高阶 Sobolev 空间中的超临界 Sobolev 型不等式及相关高阶椭圆问题

由于 J.M. do \'O、B. Ruf 和 P. Ubilla 的工作，已知单位球 $B\subset\mathbb R^n$（$n\geq 3$）上径向对称函数到变指数 Lebesgue 空间 $L_{2^\star + |x|^\alpha} (B)$（$2^\star = 2n/(n-2)$，$\alpha>0$）的 Sobolev 型嵌入，即不等式 $$\sup\Big\{\int_B |u(x)|^{2^\star+|x|^\alpha} dx : u\in H^1_{0,{\rm rad}}(B), \|\nabla u\|_{L^2(B)} =1\Big\} < +\infty$$ 成立。本文中，我们将上述不等式推广到 $B$ 上径向对称函数的高阶 Sobolev 空间，即嵌入 $$H^m_{0,{\rm rad}}(B) \hookrightarrow L_{2_m^\star + |x|^\alpha} (B)$$ 在 $2\leq m < n/2$、$2_m^* = 2n/(n-2m)$ 且 $\alpha>0$ 时成立。我们也研究了关于该不等式最佳常数（包括最优函数的存在性）的问题。为说明该发现，给出了一个由多重调和算子驱动的球上边值问题的应用。这是我们在超临界 regime 中有关泛函不等式的一系列工作的第一篇。