关于一类涉及带部分权重的分数阶拉普拉斯算子的双临界系统

本文基于加权 Morrey 空间建立了一个新的改进 Sobolev 不等式。确切地说，存在 $C=C(n,m,s,\alpha)>0$，使得对任意 $u,v \in {\dot{H}}^s(\mathbb{R}^{n})$ 及任意 $\theta \in (\bar{\theta},1)$，有 \begin{equation} \label{eq0.3} \Big( \int_{ \mathbb{R}^{n} } \frac{ |(uv)(y)|^{\frac{2^*_{s}(\alpha)}{2} } } { |y'|^{\alpha} } dy \Big)^{ \frac{1}{ 2^*_{s} (\alpha) }} \leq C ||u||_{{\dot{H}}^s(\mathbb{R}^{n})}^{\frac{\theta}{2}} ||v||_{{\dot{H}}^s(\mathbb{R}^{n})}^{\frac{\theta}{2}} ||(uv)||^{\frac{1-\theta}{2}}_{ L^{1,n-2s+r}(\mathbb{R}^{n},|y'|^{-r}) }, \end{equation} 其中 $s \!\in\! (0,1)$，$0\!<\!\alpha\!<\!2s\!<\!n$，$2s\!<\!m\!<\!n$，$\bar{\theta}=\max \{ \frac{2}{2^*_{s}(\alpha)}, 1-\frac{\alpha}{s}\cdot\frac{1}{2^*_{s}(\alpha)}, \frac{2^*_{s}(\alpha)-\frac{\alpha}{s}}{2^*_{s}(\alpha)-\frac{2\alpha}{m}} \}$，$r=\frac{2\alpha}{ 2^*_{s}(\alpha) }$ 且 $y\!=\!(y',y'') \in \mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{n-m}$。利用山路引理与 (\ref{eq0.3})，我们直接得到了 $\mathbb{R}^{n}$ 中涉及带部分权重的分数阶拉普拉斯算子的双临界系统的一个非平凡弱解。此外，为研究某些带部分权重的一般系统（尤其涉及 p-Laplacian 的系统），我们将不等式 (\ref{eq0.3}) 推广到更一般的形式。