涉及分数阶拉普拉斯算子和临界奇点的边界变分问题

我们考虑以下临界分数阶 Hardy-Sobolev 不等式中最佳常数的可达性问题：\begin{equation*} \mu_{\gamma,s}(\R^n):= \inf\limits_{u \in H^{\frac{\alpha}{2}} (\R^n)\setminus \{0\}} \frac{ \int_{\R^n} |({-}{ \Delta})^{\frac{\alpha}{4}}u|^2 dx - \gamma \int_{\R^n} \frac{|u|^2}{|x|^{\alpha}}dx }{(\int_{\R^n} \frac{|u|^{2_{\alpha}^*(s)}}{|x|^{s}}dx)^\frac{2}{2_{\alpha}^*(s)}}, \end{equation*} 其中 $0\leq s<\alpha<2$，$n>\alpha$，${2_{\alpha}^*(s)}:=\frac{2(n-s)}{n-{\alpha}},$ 且 $\gamma \in \mathbb{R}$。这使我们能够建立 $\R^n$ 上以下双重临界问题非平凡弱解的存在性：\begin{equation*} \left\{\begin{array}{lll} ({-}{ \Delta})^{\frac{\alpha}{2}}u- \gamma \frac{u}{|x|^{\alpha}}&= |u|^{2_{\alpha}^*-2} u + {\frac{|u|^{2_{\alpha}^*(s)-2}u}{|x|^s}} & \text{in } {\R^n}\\ \hfill u&>0 & \text{in } \R^n, \end{array}\right. \end{equation*} 其中 $2_{\alpha}^*:=\frac{2 n}{n-{\alpha}}$ 是临界 $\alpha$-分数阶 Sobolev 指数，且 $\gamma < \gamma_H:=2^\alpha \frac{\Gamma^2(\frac{n+\alpha}{4})}{\Gamma^2(\frac{n-\alpha}{4})}$，后者是 $\R^n$ 上的最佳分数阶 Hardy 常数。