CR 球面与 Heisenberg 群上的分数 Sobolev 型嵌入

本文研究标准 CR 球面 $\mathbb S^{2n+1}$ 上带次级项的临界分数 Sobolev 不等式。设 $Q=2n+2$，设 $s\in(0,1)$，设 $1<p<Q$，且设 $p_s^*=\frac{Qp}{Q-sp}$。对于不等式 $\|u\|_{L^{p_s^*}(\mathbb S^{2n+1})}\le A[u]_{s,p}+B\|u\|_{L^p(\mathbb S^{2n+1})}$，我们证明了可接受的次级系数恰好为 $\left[|\mathbb S^{2n+1}|^{-s/Q},\infty\right)$。对于幂类型不等式 $\|u\|_{L^{p_s^*}(\mathbb S^{2n+1})}^p\le A[u]_{s,p}^p+B\|u\|_{L^p(\mathbb S^{2n+1})}^p$，我们证明了可接受的集合为 $\left[|\mathbb S^{2n+1}|^{-sp/Q},\infty\right)$ 当 $1<p\le 2$ 时，以及 $\left(|\mathbb S^{2n+1}|^{-sp/Q},\infty\right)$ 当 $2<p<Q$ 时。通过 Cayley 变换，我们推导出 Heisenberg 群上确切加权版本，并证明相应的可接受集合与球面上的完全相同。我们还表明， nonlinear first-moment 约束无法提高最优次级系数，而有限维数线性约束排除非零常数则产生 coercive 不等式。