分数齐次 Sobolev 空间中的一个弱型不等式

本文证明如下不等式 \begin{equation*} \|\big(\int_{\mathbb{R}^n}\frac{|f(\cdot+y)-f(\cdot)|^q}{|y|^{n+sq}}dy\big)^{\frac{1}{q}}\|_{L^{p,\infty}(\mathbb{R}^n)}\lesssim\|f\|_{\dot{L}^p_s(\mathbb{R}^n)}, \end{equation*} 其中 $\|\cdot\|_{L^{p,\infty}(\mathbb{R}^n)}$ 为弱 $L^p$ 拟范数，$\|\cdot\|_{\dot{L}^p_s(\mathbb{R}^n)}$ 为齐次 Sobolev 范数，参数满足 $1<p<q$，$2\leq q<\infty$，且 $0<s=n(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})<1$。进一步地，我们证明当 $0<p,q<\infty$，$-1<s<1$ 时，$\|\mathfrak{g}_{s,q}(f)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\lesssim\|f\|_{\dot{F}^s_{p,q}(\mathbb{R}^n)}$，其中 $\|\cdot\|_{\dot{F}^s_{p,q}(\mathbb{R}^n)}$ 表示齐次 Triebel-Lizorkin 拟范数，Littlewood-Paley-Poisson 函数 $\mathfrak{g}_{s,q}(f)(\cdot)$ 是经典 Littlewood-Paley $g$-函数的推广。此外，我们证明了 $\mathcal{G}_{\lambda,q}$-函数与 $\mathcal{R}_{s,q}$-函数的弱型 $(p,p)$ 有界性，其中 $\mathcal{G}_{\lambda,q}$-函数是著名的经典 Littlewood-Paley $g_{\lambda}^*$-函数的推广。我们还证明当 $0<p,q<\infty$ 且 $-\infty<s\leq\max\{0,n(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})\}$ 时，\begin{equation*} \|\big(\int_{\mathbb{R}^n}\frac{|f(\cdot+y)-f(\cdot)|^q}{|y|^{n+sq}}dy\big)^{\frac{1}{q}}\|_{L^{p}(\mathbb{R}^n)}=\infty. \end{equation*}