双曲空间洛伦兹-索伯列夫空间中的尖锐索伯列夫型不等式

设 $W^1L^{p,q}(\mathbb H^n)$，$1\leq q,p < \infty$ 表示双曲空间 $\mathbb H^n$ 中一阶洛伦兹-索伯列夫空间。本文目的有三。首先，我们在 $W^1L^{p,q}(\mathbb H^n)$（$1\leq q \leq p$）中建立尖锐庞加莱不等式，将 \cite{NgoNguyenAMV} 的结果推广至洛伦兹-索伯列夫空间情形。其次，我们证明 $W^1L^{p,q}(\mathbb H^n)$（$1\leq q \leq p < n$）中的若干尖锐庞加莱-索伯列夫型不等式，将 \cite{NguyenPS2018} 的结果推广至洛伦兹-索伯列夫空间情形。最后，我们在临界情形 $p= n$ 且 $1\leq q \leq n$ 下给出 $W^1L^{n,q}(\mathbb{H}^n)$ 中改进的 Moser-Trudinger 型不等式，推广了 \cite{NguyenMT2018} 的结果并改进了 \cite{YangLi2019} 的结果。在主要结果的证明中，我们将证明 $W^1 L^{p,q}(\mathbb H^n)$（$1\leq q \leq p$）中的 Pólya–Szegö 型原理，这或许具有独立意义。