双曲空间上通过Hardy型余项改进的高阶Poincaré不等式

本文讨论与以下高阶Poincaré不等式相关的Hardy型不等式： $$\left( \frac{N-1}{2} \right)^{2(k -l)} := \inf_{ u \in C_{c}^{\infty} \setminus \{0\}} \frac{\int_{\mathbb{H}^{N}} |\nabla_{\mathbb{H}^{N}}^{k} u|^2 \ dv_{\mathbb{H}^{N}}}{\int_{\mathbb{H}^{N}} |\nabla_{\mathbb{H}^{N}}^{l} u|^2 \ dv_{\mathbb{H}^{N}} }\,,$$ 其中 $0 \leq l < k$ 为整数，$\mathbb{H}^{N}$ 表示双曲空间。更确切地说，我们通过证明 $k$ 个 Hardy 型余项的存在性，改进了与上述比值相关的 Poincaré 不等式。此外，当 $k = 2$ 且 $l = 1$ 时，给出了进一步余项的存在性，并讨论了一些常数的尖锐性。作为应用，我们推导了欧氏空间上半空间上带有非标准余项的改进 Rellich 型不等式。