非局部 Sobolev 不等式的余项

在本注记中,我们研究如下非局部版本的 Sobolev 不等式 \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2 dx \geq S_{HLS}\left(\int_{\mathbb{R}^N}\big(|x|^{-\alpha} \ast u^{2_\alpha^{\ast}}\big)u^{2_\alpha^{\ast}} dx\right)^{\frac{1}{2_\alpha^{\ast}}}, \quad \forall u\in \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N), \end{equation*} 其中 $S_{HLS}$ 为最佳常数,$\ast$ 表示标准卷积,$\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 表示关于范数 $\|u\|_{\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N)}=\|\nabla u\|_{L^2(\mathbb{R}^N)}$ 的经典 Sobolev 空间。利用极值函数的非退化性质,我们证明了对于所有 $0<\alpha<N$,上述不等式存在梯度型余项以及弱 $L^{\frac{N}{N-2}}$-范数下的余项。