两类高阶临界 Sobolev 嵌入的最佳常数

本文得到了临界指数下若干高阶 Sobolev 不等式的最佳常数。这些不等式可分为两类：嵌入到 $L^\infty(\mathbb{R}^N)$ 的，以及嵌入到稍大目标空间的。对于前者，我们证明当 $k \in \{1,\ldots, N-1\}$、$N-k$ 为偶数时，存在最佳常数 $c_k>0$，使得对所有 $u \in C^\infty_c(\mathbb{R}^N)$ 有 $$\|u\|_{L^\infty} \leq c_k \int |\nabla^k (-\Delta)^{(N-k)/2} u|$$（$k=N$ 的情形已由 Shafrir 在近期论文中处理）。而后者中最重要的是 J. Moser 的 D. Adams 高阶不等式的一个变体：对于 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$、$m \in \mathbb{N}$ 及 $p=\frac{N}{m}$，存在 $A>0$ 与最佳常数 $\beta_0>0$，使得对所有满足 $\|\nabla^m u\|_{L^p(\Omega)} \leq 1$ 的 $u$ 有 $$\int_{\Omega} \exp (\beta_0 |u|^{p^\prime}) \leq A |\Omega|$$，其中 $\|\nabla^m u\|_{L^p(\Omega)}$ 是空间 $W^{m,p}(\Omega)$ 上的传统半范数。