双曲空间中 Poincare-Sobolev 不等式的尖锐定量稳定性及其在快速扩散流中的应用

考虑双曲空间上的 Poincar\'e-Sobolev 不等式：对每个 $n \geq 3$ 和 $1 < p \leq \frac{n+2}{n-2},$ 存在最佳常数 $S_{n,p, \lambda}(\mathbb{B}^{n})>0$ 使得 $$S_{n, p, \lambda}(\mathbb{B}^{n})\left(~\int \limits_{\mathbb{B}^{n}}|u|^{{p+1}} \, {\rm d}v_{\mathbb{B}^n} \right)^{\frac{2}{p+1}} \leq\int \limits_{\mathbb{B}^{n}}\left(|\nabla_{\mathbb{B}^{n}}u|^{2}-\lambda u^{2}\right) \, {\rm d}v_{\mathbb{B}^n},$$ 对所有 $u\in C_c^{\infty}(\mathbb{B}^n)$ 成立，且 $\lambda \leq \frac{(n-1)^2}{4},$ 其中 $\frac{(n-1)^2}{4}$ 是 $-\Delta_{\mathbb{B}^{n}}$ 的 $L^2$-谱底。由 Mancini 和 Sandeep [Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. 7 (2008)] 的结果可知，在对 $n,p$ 和 $\lambda$ 的适当假设下，存在唯一（模双曲等距）达到最佳常数 $S_{n,p,\lambda}(\mathbb{B}^n)$ 的极值函数。本文中，我们研究上述不等式及相应 Euler-Lagrange 方程在气泡附近的局部定量梯度稳定性。我们的结果将 $\mathbb{R}^n$ 中 Sobolev 不等式的尖锐定量稳定性（Bianchi-Egnell [J. Funct. Anal. 100 (1991)] 与 Ciraolo-Figalli-Maggi [Int. Math. Res. Not. IMRN 2018]）推广到双曲空间上的 Poincar\'{e}-Sobolev 不等式。此外，结合我们的稳定性结果并实施精细光滑估计，我们证明了径向初值的亚临界快速扩散流解向其吸引域的定量熄灭率。在另一应用中，我们导出了奇点分量对称的函数类的 Hardy-Sobolev-Maz'ya 不等式的尖锐定量稳定性。