分数 Hardy 不等式的数量稳定性：无置换技术与 Emden-Fowler 分析

Frank 和 Seiringer 的经典结果表明，对于 $1\leq p<\frac N s$，存在一个 sharp constant $\mathcal{C}_{N,s,p}>0$，使得 $$\delta_{s,p}(u):=\int_{\mathbb{R}^N}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}}\,dx\,dy-\mathcal{C}_{N,s,p}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|u(x)|^p}{|x|^{sp}}\,dx\ge0,$$ 对所有 $u\in W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 成立。该 optimal constant 已知。我们研究此不等式的数量性细化。我们的第一个结果显示，在归一化 $\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|u(x)|^p}{|x|^{sp}}\,dx=1$ 的情况下，不等式 $$\delta_{s,p}(u)\gtrsim\bigl(\mathrm{dist}_{s,p}(u,\mathcal{Z})\bigr)^\alpha,$$ 成立，其中 $\alpha=\max\{4,2p\}$，$\mathcal{Z}$ 表示 ``virtual'' extremals 的 family，距离以 Marcinkiewicz（弱-$L^{p_s^*}$）空间测量。稳定指数在 $p\leq2$ 时保持不变，而在 $p>2$ 时依赖于 $p$。我们的 method 基于局部的 Poincaré-Sobolev 不等式结合适当的尺度变换和 Lorentz 嵌入。我们利用非局部能量的分解结合 Lorentz 估计，使我们能够控制 $\delta_{s,p}(u)$ 以 $\mathcal{Z}$ 的距离为基准。该方法也适用于 local case $s=1$，论证是无置换的，稳定性估计中的指数改进了现有文献中的结果。对于 $p=2$，通过 Emden-Fowler 对应和伪微分算子，我们显示 nonlocal Hardy 赤字与 local one 吻合，并在 $\mathbb{R}\times\mathbb{S}^{N-1}$ 上获得量化稳定性，使用 Frank、Lieb 和 Seiringer 对 fractional Hardy 二次型的对角化。作为应用，我们在非局部情境下建立了 Hardy-Heisenberg 类型不确定性原理，这在文献中似乎是新的。