黎曼流形上的一个尖锐高阶Sobolev不等式

设$m, n$为满足$\frac{n}{2} > m \geq 1$的整数，并设$(M, g)$为一个闭的$n-$维黎曼流形。我们证明存在某个仅依赖于$(M, g)$、$m$和$n$的$B \in \mathbb{R}$，使得对所有$u \in H_m^2(M)$，有$$\lVert u \rVert_{2^\#}^2 \leq K(m,n) \int_M (\Delta^\frac{m}{2} u)^2 dv_g + B \lVert u \rVert_{H_{m-1}^2(M)}^2$$其中$2^\# = \frac{2n}{n-2m}$，$K(m,n)$是嵌入$W^{m,2}(\mathbb{R}^n) \subset L^{2^\#}(\mathbb{R}^n)$的最佳常数的平方，$H_m^2(M)$是由$M$上具有$m$个在$L^2(M)$中的弱导数的函数组成的Sobolev空间，且当$m$为奇数时$\Delta^\frac{m}{2} = \nabla \Delta^{\frac{m-1}{2}}$。该不等式在$K(m,n)$不能被任何更小的常数取代的意义上是尖锐的。这扩展了Hebey-Vaugon和Hebey的工作，它们分别对应于$m=1$和$m=2$的情形。