非紧致黎曼流形上有界 Ricci 曲率的锐利 Sobolev 不等式

给定曲率有界的光滑完整黎曼流形 $M$，我们推导了当 $1\le p< n$ 时，$W^{1,p}(M)$ 嵌入 $L^{\frac{np}{n-p}}(M)$ 的锐利 Sobolev 不等式。我们首先将不等式化简到支持体积足够小的函数。进一步地，我们将证明小体积情况下的不等式由 $M$ 在小体积处的一阶一致渐近展开所蕴含。最后，我们将证明，这种展开式是由支持直径足够小的 $W^{1,1}$ 函数上的局部一致 Sobolev 不等式所推导。