支撑 Sobolev 型不等式的紧流形的拓扑刚性

设 $(M,g)$ 为 $n$ 维 $(n\geq 3)$ 紧黎曼流形，满足 Ric$_{(M,g)}\geq (n-1)g$。若 $(M,g)$ 支撑一个 AB 型临界 Sobolev 不等式，且其 Sobolev 常数接近于标准单位球面 $(\mathbb S^n,g_0)$ 对应的最优常数，我们证明 $(M,g)$ 在拓扑上接近于 $(\mathbb S^n,g_0)$。此外，$(M,g)$ 上的 Sobolev 常数恰好为球面 $(\mathbb S^n,g_0)$ 上的最优常数，当且仅当 $(M,g)$ 与 $(\mathbb S^n,g_0)$ 等距；特别地，后一结果回答了 V.H. Nguyen 的一个问题。