紧致 Riemannian 流形到自身的映射的最优刚性估计

设 $M$ 为光滑、紧致、连通、定向的 Riemannian 流形，且设 $\imath: M \to \mathbb R^d$ 为等距嵌入。我们证明：若 Sobolev 映射 $f: M \to M$ 的微分 $df(q)$ 在 $L^p$ 意义下接近于保定向等距的集合 $SO(T_q M, T_{f(q)} M)$，则它已在 $W^{1,p}$ 意义下接近于 $M$ 的一个全局等距。更精确地，我们证明了对于 $p \in (1,\infty)$ 的最优线性估计 $$\inf_{\phi \in \mathrm{Isom}_+(M)} \| \imath \circ f - \imath \circ \phi\|_{W^{1,p}}^p \le C E_p(f)$$ 其中 $$E_p(f) := \int_M {\rm dist}^p(df(q), SO(T_q M, T_{f(q)} M)) \, d{\rm vol}_M$$ 且 $\mathrm{Isom}_+(M)$ 表示 $M$ 的保定向等距群。这将 Friesecke-James-M"uller [Comm. Pure Appl. Math. {\bf 55} (2002), 1461--1506] 的欧氏刚性估计推广到了 Riemannian 流形。它也将 Kupferman-Maor-Shachar [Arch. Ration. Mech. Anal. {\bf 231} (2019), 367--408] 关于满足 $E_p(f_k) \to 0$ 的映射序列的 Riemannian 稳定性结果扩展为最优的定量估计。证明依赖于 Kupferman-Maor-Shachar 的弱 Riemannian Piola 恒等式、通过调和映射热流的均匀 $C^{1,\alpha}$ 逼近，以及一个将估计归结为著名的 Riemannian 版 Korn 不等式的线性化论证。