从$\mathbb{S}^{n-1}$到$\mathbb{R}^n$的等距与共形映射的刚性估计

我们研究$\mathbb{S}^{n-1}$到$\mathbb{R}^n$的Sobolev映射中刚体运动（相应为Möbius变换）的线性与非线性稳定性方面。不同于定义在$\mathbb{R}^n$域并映射到$\mathbb{R}^n$的类似性质结果，在此更灵活的设置中，不仅需要一个等距（相应为共形）亏量，还需要一个度量所考虑映射下$\mathbb{S}^{n-1}$畸变的亏量。后者被定义为一种相关的等周型亏量。我们主要关注$n=3$的情形，并解释了为何这些估计在各自设置中最优。在等距情形，当$n=2$时估计也成立，并且若要求某一更高Sobolev范数的先验有界性，可推广至$n\geq 4$维。我们还得到了所有维数下两种情形的线性稳定性估计。这些可视为$\mathbb{S}^{n-1}$上等距（相应为共形）亏量二次型与等周亏量相结合的Korn型不等式。