等温度问题的大偏差原理及其与非线性 log-Sobolev 不等式的等价性

等温度问题是几何测度论中的经典议题，但关于最优解——甚至渐近最优解的特征化仍存诸多未决问题。本文我们考察了在积分类几何流形 $M^{n}$ 上，依托于乘积概率测度 $\nu^{\otimes n}$ 的等温度问题的大偏差渐近。我们给出等温度轮廓的大偏差渐近的精确特征化，揭示了这一渐近等温度不等式与非线性 log-Sobolev 不等式之间的精确等价性。观察到条件典型集——信息论中的一个基本概念——构成了等温度问题的渐近最优解。该类子集进一步给出等温度轮廓在中心极限情形下的上界。尽管结果仅适用于积空间，但它们意味着可用于恢复 Ledoux 和 Bobkov 对于任意非积空间所建立的较弱等价，或用于建立积空间或非积空间中等温度、浓度和运输不等式最优常数之间的定量关系。我们的结果从非线性 log-Sobolev 不等式的视角为等温度最小化者为何在几何结构不同的空间中行为根本不同提供了严格的依据。我们的证明思想是一种新的框架，将信息论、最优运输和几何测度论工具整合在一起。