等周不等式与集中不等式——曲率下界条件下的等价性

众所周知，在非常一般的测度-度量-空间设定下，等周不等式蕴含适当的集中不等式。前者将集合的边界测度界定为其测度的函数，而后者将远离具有总测度一半的集合的集合的测度界定为其相互距离的函数。我们证明，在配备密度的黎曼流形的Bakry-Émery曲率张量的下界条件下，完全一般的集中不等式反过来蕴含其等周对应不等式，且界与维数无关。作为推论，我们可以通过推广Bobkov的一个等周不等式，恢复并扩展所有先前已知的（与维数相关的）结果，并提供一个新证明：在自然凸性假设下，任意弱的集中性都蕴含与维数无关的线性等周不等式。进一步的应用将在后续工作中描述。与先前此方向的尝试相反，我们的方法完全是几何的，延续了Gromov提出的方法，并由Morgan将其推广到带密度流形设定。