无界凸体中的等周不等式

我们考虑在无界凸体 $C\subset \mathbb{R}^{n+1}$ 中于体积约束下最小化相对周长的问题，且不假设 $C$ 的边界具有任何进一步的正则性。受一个具有零等周剖面的无界凸体例子的启发，我们引入了具有一致几何的无界凸体的概念。随后，我们给出一致几何性质的一个便于使用的刻画，并通过利用 $C$ 的渐近柱体概念，证明了广义意义上等周区域的存在性。通过逼近论证，我们证明了等周剖面的严格凹性，并由此证明了广义等周区域的连通性。我们还关注了小体积和大体积的情形；特别地，对于特殊类别的无界凸体，我们证明了具有足够大体积的等周区域的存在性。最后，我们探讨了关于等周刚性的若干问题，并结合等周维数的概念分析了等周剖面的渐近行为。