具有 Ricci 曲率下界的空间中的等周集

本文研究 $\sf RCD$ 空间中带体积约束的拟周长极小元的规律性与拓扑性质，其中参考测度为 Hausdorff 测度。拟周长是由通常周长与一个适当的连续项之和给出的泛函。特别地，等周集是我们研究的一个特例。我们证明在 ${\sf RCD}(K,N)$ 空间 $({\rm X},{\sf d},\mathcal{H}^N)$ 上，其中 $K\in\mathbb R$，$N\geq 2$，且单位球体积有一致下界，带体积约束的拟周长极小元是开有界集，其 $(N-1)$-Ahlfors 正则拓扑边界与本质边界重合。证明基于 ${\sf RCD}(K,N)$ 空间 $({\rm X},{\sf d},\mathfrak m)$ 中有限周长集的一个新变形引理，以及对带体积约束的拟周长极小元的内点与外点的研究。该理论适用于光滑黎曼流形（可能带边界）上带体积约束的极小元，为光滑情形下的此类极小元提供了一般的规律性结果。