黎曼流形上若干尖锐的等周型不等式

我们证明了黎曼流形上具光滑边界区域的若干尖锐等周型不等式。例如，利用广义凸性，我们证明在所有割距有下界 $l$ 且 Ricci 曲率有下界 $(n-1)k$ 的区域中，曲率为 $k$ 的空间形式里半径为 $l$ 的测地球具有最大的面积-体积比。若将以割距下界替换为平均曲率下界，则成立一个类似但反向的不等式。作为应用，我们证明标准空间形式中的 $C^2$ 等周区域为球。广义凸性也为 Toponogov 定理提供了一个简单的证明。我们还证明了另一个涉及区域外蕴半径的等周不等式，其中环境空间的曲率有上界。随后我们将该不等式沿两个方向推广：其一涉及高阶平均曲率，其二涉及割迹的 Hausdorff 测度。