黎曼流形中极小子流形的等周不等式：高余维下的反例
微分几何
2012-10-19 v3
摘要
对于具有凸边界的紧致黎曼流形，B. White 证明了以下择一结果：要么极小超曲面存在等周不等式，要么存在闭的极小超曲面（可能带有小的奇异集）。一个自然的问题是，类似的结果对于更高余维的子流形是否成立。具体而言，B. White 曾问，k-变密（k-varifold）不存在等周不等式是否意味着存在非零、平稳的整值 k-变密。我们给出的例子表明，在余维大于二时这是不成立的。关键步骤是在闭四维球 B 上构造具有以下性质的黎曼度量：(1) B 具有严格凸边界。(2) 存在一条完备的非常值测地线。(3) B 中不存在闭测地线。
引用
@article{arxiv.1004.3188,
title = {Isoperimetric Inequalities for Minimal Submanifolds in Riemannian Manifolds: A Counterexample in Higher Codimension},
author = {Victor Bangert and Nena Roettgen},
journal= {arXiv preprint arXiv:1004.3188},
year = {2012}
}
备注
11 pages, We changed the title and added a section that exhibits the relation between our example and the question posed by Brian White concerning isoperimetric inequalities for minimal submanifolds