Riemann 流形中凸体的若干等周比较定理

我们证明，Riemann 流形 $(M^{n+1},g)$ 中具有紧闭包的凸域 $\Omega$ 的等周函数满足一个二阶微分不等式，该不等式仅依赖于流形的维数以及 $\Omega$ 上 Ricci 曲率的下界。该函数的正则性性质与等周区域的拓扑推论自然地由此微分观点产生。此外，通过对微分不等式积分，我们得到了 sharpened 比较定理：我们不仅能导出一个应与 Lévy-Gromov 不等式相比较的不等式，还证明了若 $\text{Ric}\geq n\delta$ 于 $\Omega$ 上，则 $\Omega$ 的函数被常截面曲率 $\delta$ 的单连通空间形式中的半空间 $\mathbb{H}_{\delta}^{n+1}$ 的函数从上界所控制。作为等周比较的推论，我们得到了 $\Omega$ 的体积与直径的几何估计，以及 $\Omega$ 上 Laplace 算子的首个非零 Neumann 特征值。