黎曼流形上 Robin 拉普拉斯算子的特征值最优估计

我们考虑具有光滑边界的紧黎曼流形 $\Omega$ 上带 Robin 边界条件的拉普拉斯算子第一特征值 $\lambda_1(\Omega,\sigma)$,其中 $\sigma\in\bf R$ 为 Robin 边界参数。当 $\sigma>0$ 时,我们给出 $\lambda_1(\Omega,\sigma)$ 的一个正的、尖锐的下界,该下界通过依赖于几何的关联一维问题表达,几何信息包括 $\Omega$ 的 Ricci 曲率下界、$\partial\Omega$ 的平均曲率下界以及内半径。当边界参数为负时,下界变为上界。特别地,我们得到了平均凸欧氏域的显式界,改进了已知估计。随后,我们将 Giorgi 与 Smits 在欧氏空间中得到的 $\lambda_1(\Omega,\sigma)$ 单调性结果推广到一类包含全部常截面曲率空间形式的旋转流形。作为一个应用,我们证明了对双曲空间中所有有界域,只要边界参数 $\sigma\geq\frac{n-1}{2}$, $\lambda_1(\Omega,\sigma)$ 一致地下界于 $\frac{(n-1)^2}4$(McKean 型不等式)。文中也讨论了大双曲球的渐近性。