平均曲率界与 Robin 拉普拉斯算子的特征值

我们考虑在一类有界光滑区域 $\Omega\in\mathbb{R}^\nu$ 中具有吸引 Robin 边界条件的拉普拉斯算子，$$Q^\Omega_\alpha u=-\Delta u, \quad \dfrac{\partial u}{\partial n}=\alpha u \text{ on } \partial\Omega,$$ 其中 $n$ 是外向单位法向量，$\alpha>0$ 是常数。我们证明，对于每个 $j\in\mathbb{N}$ 且当 $\alpha\to+\infty$ 时，第 $j$ 个特征值 $E_j(Q^\Omega_\alpha)$ 具有渐近行为 $$E_j(Q^\Omega_\alpha)=-\alpha^2 -(\nu-1)H_\mathrm{max}(\Omega)\,\alpha+{\mathcal O}(\alpha^{2/3}),$$ 其中 $H_\mathrm{max}(\Omega)$ 是 $\partial \Omega$ 处的最大平均曲率。关于反向 Faber-Krahn 不等式的讨论引出了一个关于最小化 $H_\mathrm{max}$ 的新几何问题。特别地，我们证明了在给定体积的光滑星形区域类中，球是 $H_\mathrm{max}$ 的严格最小化子，这导出了以下结果：如果 $B$ 是一个球，而 $\Omega$ 是任何其他具有相同体积的光滑星形区域，那么对于任何固定的 $j\in\mathbb{N}$，当 $\alpha$ 很大时，我们有 $E_j(Q^B_\alpha)>E_j(Q^\Omega_\alpha)$。文中还提出了一个关于更大区域类的开放性问题。