具有 Robin 边界条件的 $p$-拉普拉斯算子与边界迹定理

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^\nu$，$\nu\ge 2$，是一个 $C^{1,1}$ 域，其边界 $\partial\Omega$ 要么是紧致的，要么在无穷远处行为适当。对于 $p\in(1,\infty)$ 和 $\alpha>0$，定义 $$\Lambda(\Omega,p,\alpha):=\inf_{\substack{u\in W^{1,p}(\Omega)\\ u\not\equiv 0}}\dfrac{\displaystyle \int_\Omega |\nabla u|^p \mathrm{d} x - \alpha\displaystyle\int_{\partial\Omega} |u|^p\mathrm{d}\sigma}{\displaystyle\int_\Omega |u|^p\mathrm{d} x},$$ 其中 $\mathrm{d}\sigma$ 是 $\partial\Omega$ 上的曲面测度。我们展示了渐近式 $$\Lambda(\Omega,p,\alpha)=-(p-1)\alpha^{\frac{p}{p-1}} - (\nu-1)H_\mathrm{max}\, \alpha + o(\alpha), \quad \alpha\to+\infty,$$ 其中 $H_\mathrm{max}$ 是 $\partial\Omega$ 的最大平均曲率。我们还讨论了相关极小化子的渐近行为。然后将该估计应用于研究扩张域边界迹定理中的最佳常数、延拓算子的范数估计以及相关的等周不等式。