Dirichlet Laplacian 的热迹渐近与等谱势的紧性

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 1$) 中的 $C^\infty$-光滑有界域，矩阵 ${\bf a} \in C^\infty (\overline{\Omega};\R^{n^2})$ 对称且一致椭圆。我们考虑算子 $-\mydiv ( {\bf a} \nabla \cdot)$ 具有 Dirichlet 边界条件的 $L^2(\Omega)$-实现 $A$。我们用某个实值势 $V \in C_0^\infty (\Omega)$ 扰动 $A$，记 $A_V=A+V$。对于系数为 0 次齐次的任意矩阵 ${\bf a}$，我们计算了当 $t \downarrow 0$ 时 $\mbox{tr}\left( e^{-t A_V}-e^{-t A}\right)$ 的渐近展开。在 $A$ 为 $\Omega$ 中的 Dirichlet Laplacian 的特殊情况下，即当 ${\bf a}$ 为 $\R^{n^2}$ 的单位矩阵时，我们明确了渐近展开公式中出现的前四项，并证明了 $A$ 的 $L^\infty$-有界等谱势集在 $s <2$ 时是 $H^s$-紧的。