有界域上 Dirichlet Laplacian 的两项谱渐近

设 $-\Delta$ 表示 $\mathbb{R}^d$ 中有界开集上的 Dirichlet Laplace 算子。我们研究了半经典极限 $h \to 0+$ 下算子 $-h^2 \Delta - 1$ 的负特征值之和。我们给出了一个新的证明，该证明不仅得出了渐近公式的首项，还得出了涉及该集合边界表面积的第二项。该证明在关于边界的弱光滑性假设下依然成立。