u-容量的渐近行为及 Dirichlet-Laplacian 的奇异性扰动

本文研究了小集合的 u-容量的渐近行为，及其在对带小孔的平面有界域上 Dirichlet-Laplacian 特征值分析中的应用。更确切地说，我们考虑 R^2 中两个（足够正则的）有界开连通集 Ω 和 ω，均包含原点。首先，若 ε 为正且足够小，且 u 为定义在 Ω 上的函数，我们计算当 ε → 0 时 u-容量 Cap_Ω(ε ω, u) 的渐近展开。作为推论，我们对穿孔集 Ω \ (ε ω̄) 中 Dirichlet-Laplacian 的第 N 个特征值在 ε 接近于 0 时计算了渐近展开。该公式明确展示了渐近展开对相应特征函数在 0 附近的行为以及孔的形状 ω 的依赖性。