边界附近带小孔的域上拉普拉斯算子的狄利克雷问题

我们研究边界附近带小孔的域上的狄利克雷问题。为此，对于每对正参数 $\boldsymbol\varepsilon = (\varepsilon_1, \varepsilon_2 )$，我们考虑穿孔域 $\Omega_{\boldsymbol\varepsilon}$，它是在 $\mathbb{R}^n$ 的开正则子集 $\Omega$ 中、距边界 $\partial\Omega$ 为 $\varepsilon_1$ 处挖去大小为 $\varepsilon_1 \varepsilon_2$ 的小孔得到。当 $\varepsilon_1 \to 0$ 时，穿孔收缩为一点并同时接近边界。当 $\boldsymbol\varepsilon \to (0,0)$ 时，孔的尺寸比其接近边界的速率收缩得更快。我们用 $u_{\boldsymbol\varepsilon}$ 表示 $\Omega_{\boldsymbol\varepsilon}$ 中拉普拉斯方程狄利克雷问题的解。对于空间维数 $n\geq 3$，我们证明将 $\boldsymbol\varepsilon$ 映射到 $u_{\boldsymbol\varepsilon}$ 的函数在 $(0,0)$ 的邻域内有实解析延拓。相反，对于 $n=2$，我们考虑两种不同的情形：$\boldsymbol\varepsilon$ 趋于 $(0,0)$，以及 $\varepsilon_1$ 趋于 $0$ 而 $\varepsilon_2$ 固定。当 $\boldsymbol\varepsilon\to(0,0)$ 时，解 $u_{\boldsymbol\varepsilon}$ 具有对数行为；当仅 $\varepsilon_1\to0$ 且 $\varepsilon_2$ 固定时，解的渐近行为可用 $\varepsilon_1$ 的实解析函数描述。我们还证明了对于 $n=2$，能量积分和外边界上的总通量在两种情形中具有不同的极限值。我们通过泛函分析方法结合某些特殊的层势证明了这些结果。