周期穿孔域中 Laplace 算子奇异摄动 Dirichlet 问题的泛函分析方法

我们考虑 $\mathbb{R}^n$ 中一个充分正则的有界开连通子集 $\Omega$，满足 $0 \in \Omega$ 且 $\mathbb{R}^n \setminus \cl\Omega$ 连通。随后选取一点 $w \in ]0,1[^n$。若 $\epsilon$ 为一个小的正实数，则定义周期穿孔域 $T(\epsilon) \equiv \mathbb{R}^n\setminus \cup_{z \in \mathbb{Z}^n}\cl(w+\epsilon \Omega +z)$。对于每个小的正 $\epsilon$，我们在集合 $T(\epsilon)$ 中引入一个针对 Laplace 算子的特定 Dirichlet 问题。更确切地说，我们在集合 $w+\epsilon \Omega$ 的边界上考虑一个 Dirichlet 条件，并将该问题的唯一周期解记为 $u[\epsilon]$。接着，我们证明 $u[\epsilon]$ 的（适当限制）可以在参数 $\epsilon=0$ 附近进行实解析延拓。