穿孔域上的非局部问题

本文分析穿孔域上的非局部方程。我们考虑形如 $f(x) = \int_{B} J(x-y) (u(y) - u(x)) dy$ 的非局部问题，其中 $x$ 属于穿孔域 $\Omega^\epsilon \subset \Omega$。这里 $J$ 是非奇异核。我们将 $\Omega^\epsilon$ 视为固定集合 $\Omega$ 去掉一个称为孔的子集。我们处理孔上的 Neumann 条件和 Dirichlet 条件，并假设在 $\Omega$ 外为 Dirichlet 条件。在后一种情形中，我们强制 $u$ 在孔内为零但在整个 $\mathbb{R}^N$ 上积分（$B=\mathbb{R}^N$）；在前一种情形中，我们仅考虑在 $\mathbb{R}^N$ 减去孔上的积分（$B=\mathbb{R}^N \setminus (\Omega \setminus \Omega^\epsilon)$）。假设孔弱收敛，具体而言，在 $\Omega^\epsilon$ 的特征函数有弱极限 $\chi_{\epsilon} \rightharpoonup \mathcal{X}$ 于 $L^\infty(\Omega)$ 中弱$^*$ 收敛的假设下，我们分析当 $\epsilon \to 0$ 时非局部问题解的极限，证明存在非局部极限问题。在孔为周期性去除的球情形，我们得到临界半径与典型胞腔（给出周期）的尺寸同阶。此外，在此周期情形中，我们还研究了当我们重新缩放核以逼近局部 PDE 问题时这些非局部问题的行为。