一个凭空出现的奇异顶点条件

我们证明了在由 Dirichlet 孔穿孔并收缩至一维区间的域 $\Omega_\varepsilon$ 上，Neumann Poisson 问题 $-\Delta u_\varepsilon = f$ 的解在 $L^2$ 中的范数分解与谱收敛性。极限 $u$ 在区间 $(0,1)$ 上满足形如 $-u''+\mu u = f$ 的方程，其中 $\mu$ 为一正常数。作为一个应用，我们研究了穿孔图状域上解的收敛性。我们表明若边邻域与顶点邻域之间的缩放比例选取正确，常数 $\mu$ 将出现在极限问题的顶点条件中。特别地，这意味着所得量子图的谱以可控方式被穿孔所改变。