具有高度波纹边界的区域中的 Neumann 谱问题

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 为一个有界区域。我们通过附加一族具有“房间 - 通道”类几何结构的小突起将其扰动为区域 $\Omega^\varepsilon$（$\varepsilon>0$ 为小参数）。R. Courant 和 D. Hilbert 首次观察到了此类扰动区域中 Neumann 问题的特殊谱性质。我们研究了当 $\varepsilon\to 0$ 时突起数量趋于无穷大，且它们沿 $\partial\Omega$ 的一部分呈 $\varepsilon$-周期分布的情形。我们的目标是描述算子 $\mathcal{A}^\varepsilon=-(\rho^\varepsilon)^{-1}\Delta_{\Omega^\varepsilon}$ 的谱行为，其中 $\Delta_{\Omega^\varepsilon}$ 是 $\Omega^\varepsilon$ 中的 Neumann Laplacian，正函数 $\rho^\varepsilon$ 在 $\Omega$ 中等于 $1$。我们证明了当 $\varepsilon\to 0$ 时，$\mathcal{A}^\varepsilon$ 的谱收敛于 $\Omega$ 中 Neumann Laplacian 的某个边值问题的“谱”，该边值问题的边界条件以非线性方式包含谱参数。其特征值可能会积聚到一个有限点。