超平面附近双对比系数椭圆算子的谱性质

本文研究了在$\Omega\subset\mathbb{R}^n$（$n \geq 2$）有界区域中，满足$\partial\Omega$上Dirichlet边界条件的椭圆算子$\mathcal{A}^\varepsilon=-{1\over b^\varepsilon}\mathrm{div}(a^\varepsilon\nabla)$的谱当$\varepsilon\to 0$时的渐近行为。当$\varepsilon\to 0$时，系数$a^\varepsilon$和$b^\varepsilon$在与$\Omega$相交的超平面$\Gamma$的小邻域内变为高对比。我们证明$\mathcal{A}^\varepsilon$的谱收敛于一个算子的谱，该算子作用于$L^2(\Omega)\oplus L^2(\Gamma)$，由$\Omega\setminus\Gamma$上的$-\Delta$运算、$\partial\Omega$上的Dirichlet边界条件以及$\Gamma$上以非线性方式包含谱参数的特定界面条件生成。该算子的特征值可能在有限点处聚集。然后我们研究当$\Omega$为无限直条（“波导”）且$\Gamma$平行于其边界时的相同问题。我们证明当$\varepsilon$足够小时$\mathcal{A}^\varepsilon$在谱中至少有一个能隙，并描述了该能隙当$\varepsilon\to 0$时的渐近行为。证明基于均匀化理论的方法。