含两项指数势的一维 Dirac 算子谱间隙的渐近性

考虑定义在 $[0,\pi]$ 上并带有周期和反周期边界条件的一维 Dirac 算子 \begin{equation*} L = i \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{d}{dx} +\begin{pmatrix} 0 & P(x) \ Q(x) & 0 \end{pmatrix}, \quad P,Q \in L^2 ([0,\pi]), \end{equation*} 其具有离散谱。对于足够大的 $|n|,\, n \in \mathbb{Z},$ 存在两个（计重数）特征值 $\lambda_n^-,\lambda_n^+$（若 $n$ 为偶数则为周期，若 $n$ 为奇数则为反周期），使得 $|\lambda_n^\pm - n |<1/2.$ 我们研究了在 $$P(x)=a e^{-2ix} + A e^{2ix}, \quad Q(x)=b e^{-2ix} + B e^{2ix},$$ 情形下谱间隙 $\gamma_n =\lambda_n^+ - \lambda_n^-$ 的渐近性，其中 $a, A, b, B$ 为非零复数。我们证明，对于足够大的 $m,$ 有 $\gamma_{\pm 2m}=0$ 且 \begin{align*} \gamma_{2m+1} = \pm 2 \frac{\sqrt{(Ab)^m (aB)^{m+1}}}{4^{2m} (m!)^2 } \left[ 1 + O \left( \frac{\log^2 m}{m^2}\right) \right], \end{align*} \begin{align*} \gamma_{-(2m+1)} = \pm 2\frac{\sqrt{(Ab)^{m+1} (aB)^m}}{4^{2m} (m!)^2} \left[ 1 + O \left( \frac{\log^2 m}{m^2}\right) \right]. \end{align*}