Hill 算子与一维狄拉克算子的谱隙及偏差的渐近公式

设 $L$ 为区间 $[0,\pi]$ 上的 Hill 算子或一维狄拉克算子。若 $L$ 考虑 Dirichlet、周期或反周期边界条件，则相应的谱是离散的；对于足够大的 $|n|$，在 Hill 情形下接近 $n^2$，或在狄拉克情形下接近 $n, \; n\in \mathbb{Z}$，存在一个 Dirichlet 本征值 $\mu_n$ 和两个周期（若 $n$ 为偶数）或反周期（若 $n$ 为奇数）本征值 $\lambda_n^-, \, \lambda_n^+$（计重数）。我们根据势的傅里叶系数给出了谱隙 $\gamma_n = \lambda_n^+ - \lambda_n^-$ 和偏差 $\delta_n =\mu_n - \lambda_n^+$ 的渐近估计。此外，对于作为三角多项式的特殊势，我们提供了 $\gamma_n$ 和 $\delta_n$ 的精确渐近式。