加权空间中势函数的 Hill 算子的 Riesz 基性质

考虑区间 $[0,\pi]$ 上具有 Dirichlet、周期或反周期边界条件的 Hill 算子 $L(v) = - d^2/dx^2 + v(x)$；则对于足够大的 $n$，在 $n^2$ 附近存在一个 Dirichlet 本征值 $\mu_n$ 和两个周期（若 $n$ 为偶数）或反周期（若 $n$ 为奇数）本征值 $\lambda_n^-, \, \lambda_n^+$（计重数）。我们描述了加权空间（由 $v$ 的 Fourier 系数定义）中的一类复势函数 $v(x)= \sum_{2\mathbb{Z}} V(k) e^{ikx}$，使得 $L(v)$ 的周期（或反周期）根函数系包含 Riesz 基，当且仅当 $$V(-2n) \asymp V(2n) \quad \text{as} \;\; n \in 2\mathbb{N}\;\; (\text{或} \; n \in 1+ 2\mathbb{N}), \;\; n \to \infty.$$ 对于此类势函数，我们证明了 $\lambda_n^+ - \lambda_n^- \sim \pm 2\sqrt{V(-2n)V(2n)}$ 以及 $$\mu_n - \frac{1}{2}(\lambda_n^+ + \lambda_n^-) \sim -\frac{1}{2} (V(-2n) + V(2n)).$$