关于 $2 \times 2$ Dirac 型算子根向量系的 Riesz 基性质

本文关注与 $L^2[0,1] \otimes \mathbb{C}^2$ 中以下 $2 \times 2$ Dirac 型方程相关的边界值问题的 Riesz 基性质：$$L y = -i B^{-1} y' + Q(x) y = \lambda y, \quad B = \begin{pmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}, \quad (1)$$ 其中势矩阵 $Q \in L^1[0,1] \otimes \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 可求和，且 $b_1 < 0 < b_2$。若 $b_2 = -b_1 =1$，该方程等价于一维 Dirac 方程。证明了若边界条件是严格正则的，则线性边界值问题的根函数系在 $L^2[0,1] \otimes \mathbb{C}^2$ 中构成 Riesz 基。类比常微分方程的情形，若相应未扰动 ($Q=0$) 算子的特征值是渐近单重且分离的，则称边界条件为严格正则。与 Dirac 情形不同，当 $b_1 + b_2 \not = 0$ 时，不存在简单的严格正则性代数判据。然而，在边界线性形式系数满足某些限制的情况下，我们提出了后一种情形下严格正则性的某些代数判据。特别地，证明了正则分离边界条件总是严格正则的，而周期（反周期）边界条件当且仅当 $b_1 + b_2 \not = 0$ 时是严格正则的。主要结果的证明基于系统 (1) 三角变换算子的存在性。本文也确立了在 $Q$ 可求和情形下它们的存在性。对于正则但非严格正则的边界条件，我们证明了带括号的 Riesz 基性质。主要结果被应用于确立空间非均匀阻尼 Timoshenko 梁模型动态生成元的 Riesz 基性质。