$2\times2$ Dirac 型系统边值问题谱特征的稳定性与 Bari 基性质

本文研究在 $L^2([0,1];\Bbb C^2)$ 中与如下 $2\times2$ Dirac 型方程相关联的边值问题（BVP）在不同谱特征于扰动 $Q\to\widetilde Q$ 下的稳定性性质：$$L_U(Q)y=-iB^{-1}y'+Q(x)y=\lambda y,\quad B={\rm diag}(b_1,b_2),\quad b_1<0<b_2,\quad y={\rm col}(y_1,y_2),\quad(1)$$ 其中势矩阵 $Q\in L^p=L^p([0,1];\Bbb C^{2\times2})$，并满足正则边界条件 $Uy=\{U_1,U_2\}y=0$。我们关于谱稳定性的方法依赖于先前工作中对 $Q\in L^1$ 的系统 (1) 所建立的三角变换算子 $K_Q^\pm$ 的存在性。我们证明了映射 $Q\to K_Q^\pm$ 从 $L^p$ 中的球到自然出现的特殊 Banach 空间 $X_{\infty,p}^2,X_{1,p}^2$ 的 Lipschitz 性质，并对 $K_Q^\pm$ 的 Fourier 变换获得类似性质。这些性质本身具有独立意义，并在本文讨论的所有稳定性结果的证明中起关键作用。例如，作为直接推论我们得到映射 $Q\to\Phi_Q$ 的 Lipschitz 性质，其中 $\Phi_Q$ 为系统 (1) 的基本矩阵。在边界条件（BC）为严格正则的假设下，我们证明映射 $Q\to\sigma(L_U(Q))-\sigma(L_U(0))$ 将 $L^p,p\in[1,2]$ 映入 $l^{p'}$ 或 $l^p(\{(1+|n|)^{p-2}\})$ 之一；我们还建立了其在紧集上的 Lipschitz 性质。对映射 $Q\to F_Q-F_0$ 映入 $l^{p'}(\Bbb Z; C([0,1];\Bbb C^2))$ 我们得到类似结果，其中 $F_Q$ 为 $L_U(Q)$ 的归一化特征函数序列。对 $L^p,p\in[1,2]$ 中球的这些结果的一些修正形式亦得证明。若 $Q\in L^2$，我们建立了 $L_U(Q)$ 的根向量系构成 $L^2([0,1];\Bbb C^2)$ 中 Bari 基的判据。在一个简单附加假设下，该系统构成 Bari 基当且仅当 BC 为自伴的。