具有严格正则边界条件的 $2 \times 2$ Dirac 型算子的 Bari 基性质判据

本文研究 $L^2([0,1]; \mathbb{C}^2)$ 中与下述 $2 \times 2$ Dirac 型方程相关的边值问题的 Bari 基性质，对于 $y = {\rm col}(y_1, y_2)$： $$L_U(Q) y =-i B^{-1} y' + Q(x) y = \lambda y , \quad B = \begin{pmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{pmatrix}, \quad b_1 < 0 < b_2,$$ 具有势矩阵 $Q \in L^2([0,1]; \mathbb{C}^{2 \times 2})$ 并满足严格正则边界条件 $Uy :=\{U_1, U_2\}y=0$。若 $b_2 = -b_1 =1$，该方程等价于一维 Dirac 方程。我们证明算子 $L_U(Q)$ 的根向量系 $\{f_n\}_{n \in \mathbb{Z}}$ 在 $L^2([0,1]; \mathbb{C}^2)$ 中构成 Bari 基，当且仅当未扰动算子 $L_U(0)$ 是自伴的。我们还用边界条件中的系数给出了其显式条件。该 Bari 基判据是我们更一般结果的推论：设 $Q \in L^p([0,1]; \mathbb{C}^{2 \times 2})$，$p \in [1,2]$，边界条件严格正则，且 $\{g_n\}_{n \in \mathbb{Z}}$ 为算子 $L_U(Q)$ 的根向量系 $\{f_n\}_{n \in \mathbb{Z}}$ 的双正交序列。则 $$\{\|f_n - g_n\|_2\}_{n \in \mathbb{Z}} \in (\ell^p(\mathbb{Z}))^* \quad\Leftrightarrow\quad L_U(0) = L_U(0)^*.$$ 这些抽象结果被应用于带阻尼弦方程的非典范初边值问题。