关于$2 \times 2$ Dirac型算子的迹公式和根向量系统的完备性

本文研究以下$2 \times 2$ Dirac型方程边值问题的根向量系统的完备性性质：$$L y = -i B^{-1} y' + Q(x) y = \lambda y , \quad y= {\rm col}(y_1, y_2), \quad x \in [0,1],$$ $$B = {\rm diag}(b_1, b_2), \quad b_1 < 0 < b_2, \quad\text{且}\quad Q \in W_1^n[0,1] \otimes \mathbb{C}^{2 \times 2},$$ 受一般非正则两点边界条件$C y(0) + D y(1) = 0$约束。若$b_2 = -b_1 = 1$，该方程等价于一维Dirac方程。我们建立了该边值问题的特征行列式的渐近展开。该展开直接给出了具有非正则甚至退化边界条件的此类边值问题的根向量系统的新完备性结果。我们还根据$Q^{(j)}(0)$和$Q^{(j)}(1)$的值给出了几个显式的完备性结果。在退化边界条件和解析$Q(\cdot)$的情况下，建立了完备性判据。