一维周期Dirac算子的Riesz投影的Bari-Markus性质

考虑具有$L^2$势的Dirac算子，在$[0,\pi]$上具有周期、反周期或Dirichlet边界条件$(bc)$，其谱是离散的。对于充分大的$N$，当$|n| \geq N$时，Riesz投影$S_N$和$P_n$定义良好。我们证明了$$\sum_{|n| > N} \|P_n - P_n^0\|^2 < \infty,$$其中$P_n^0, n \in \mathbb{Z},$是自由算子的Riesz投影。然后，根据Bari-Markus准则，谱Riesz分解$$f = S_N f + \sum_{|n| >N} P_n f, \quad \forall f \in L^2;$$在$L^2$中无条件收敛。