四维 Dirac 算子在阈值能级处障碍的扩散估计

我们研究具有势函数的 Dirac 方程在四维空间中的 $L^1\to L^\infty$ 扩散估计。我们对阈值处障碍的结构进行分类，表明其由每个阈值处至多二维的共振态空间组成，以及有限个本征函数。类似 Schrodinger 方程，我们证明当阈值规则时，自然的 $t^{-2}$ 衰减率成立。当存在阈值共振态或本征值时，我们证明存在一个时依赖的有限秩算子满足 $\|F_t\|_{L^1\to L^\infty}\lesssim (\log t)^{-1}$ 当 $t>2$ 时，满足 $\|e^{it\mathcal H}P(\mathcal H)-F_t\|_{L^1\to L^\infty}\lesssim t^{-1}$ 当 $t>2$，其中 $P$ 为阈值附近绝对连续谱小邻域中诠释 onto 的投影。我们进一步证明若存在阈值本征值但无阈值共振态，则算子 $F_t=0$。我们随后给出演化算子的最高能界，并完整描述扩散界限。