四维薛定谔、克莱因-戈登与波动方程在零能量阻碍下的衰减估计

我们研究了在四维空间中当存在零能量共振和特征值时，具有实值衰减势 $V$ 的薛定谔算子 $H=-\Delta +V$ 的色散估计。若存在零能量阻碍，我们建立低能展开 $$e^{itH}\chi(H) P_{ac}(H)=O(1/(\log t)) A_0+ O(1/t)A_1+O((t\log t)^{-1})A_2+ O(t^{-1}(\log t)^{-2})A_3.$$ 此处 $A_0,A_1:L^1(\mathbb R^n)\to L^\infty (\mathbb R^n)$，而 $A_2,A_3$ 是对数加权空间之间的算子，其中 $A_0,A_1,A_2$ 为有限秩算子，且这些算子均与时间无关。我们证明了类似的展开对克莱因-戈登方程和波动方程的解算子也成立。最后，我们表明在某些正交性条件下，若存在零能量特征值，可以恢复 $|t|^{-2}$ 作为从 $L^1\to L^\infty$ 的算子界。从而，尽管存在零能量特征值，仍恢复了与自由演化相同的色散界。