存在零能量障碍时四维 Schrödinger 方程与波动方程的色散估计

我们研究当存在零能量障碍（共振或本征值）时，Schrödinger 算子 $H=-\Delta+V$ 的 $L^1(\mathbb R^4)\to L^\infty(\mathbb R^4)$ 色散估计。特别地，我们证明若在零能量处存在共振或本征值，则存在一个依赖于时间的有限秩算子 $F_t$，满足 $\|F_t\|_{L^1\to L^\infty} \lesssim 1/\log t$（对于 $t>2$），使得 $$\|e^{itH}P_{ac}-F_t\|_{L^1\to L^\infty} \lesssim t^{-1},\,\,\,\,\,\text{for} t>2.$$ 我们还证明，若在零能量处存在本征值但不存在共振，则算子 $F_t=0$。随后，我们为带势函数的四维波动方程的解算子建立了类似的色散估计。